2011年7月25日 星期一

挪威瘋狂屠殺又是一起協同犯案手法

WIKI:2011年挪威爆炸和槍擊事件當地時間2011年7月22日15:26位於奧斯陸市中心的挪威政府辦公大樓附近發生爆炸,挪威政府大樓、財政部大樓以及對面的《世界之路》報社在爆炸中受到破壞。在炸彈爆炸發生2小時後,在位於奧斯陸以西約40公里處於特島發生槍擊事件,一名裝扮成警察的槍手向正在島上參加挪威執政工黨舉辦的青年團的人群射擊,至少打死84人,打傷多人,疑犯當場被捕,槍手是32歲的挪威人安德斯·貝林·布雷維克。當地警方證實兩起襲擊事件系安德斯一人所為,且與國際恐怖主義組織無關。根據新聞報導挪威警方二十五日將烏托亞島槍擊死亡人數,從原本的八十六人下修為六十八人,同時奧斯陸爆炸從七人上修一人、為八人死亡,總計兩起攻擊共七十六人喪生。本次襲擊事件是挪威二戰後遭受的最大規模襲擊,也是2004年馬德里連環爆炸案後歐洲最嚴重的屠殺事件。
挪威殺人魔承認 供稱有2名同夥,近年來大規模的恐怖攻擊事件都是以協同式的手法,讓警方或安全部隊來不及反應,以致於造成大量無辜人民的傷亡,在我的第三篇論文刊登在IEEEISI2009研討會的論文上,可提昇安全部隊的反應效率(題目:A Game Theoretic Approach for the Reallocation of Security Forces against Terrorist Diversionary Attacks),我先用賽局理論中的非合作賽局Nash Equilibrium的解找出各安全反應部隊的安全值,再用合作賽局的SHPALEYVALUE解出各安全反應部隊的反擊分配量,以有效的調配安全部隊,讓無辜人民的傷亡降低。
我想我的研究應該可以應用在大規模的協同式攻擊或天然災害上,第四篇論文就是應用在地震災害的搶救資源配置,近期會發表在義大利的研討會中,敬請期待!

2011年7月16日 星期六

賽局理論解決古代破產問題

賽局理論利用合作賽局解-"核"解決古代猶太人破產問題。

圖片來源:http://www.discountseforim.com/
一個古代巴比倫猶太法典(塔木德Talmud)處理破產問題
有一個人在破產前欠了三個人(A,B,C)的錢,分別為A:100元, B:200元, 和C:300元, 如果破產人剩餘200元,應該如何分給這三人?
我們都知道,這可能沒有一個正確的答案。公平分配是一個概念,它可能會依邏輯及社會習俗來制定。一般來說會有兩種不同的解決方案:一種是按比例分,另一種是均分。
你和朋友或同學去餐廳吃飯,到付帳時,大家最終會各付各的(自已點餐的價錢)。聖誕節到了,父母會依據年齡來給不同價值的禮物,相同年齡的小孩會得到一樣(等值)的禮物。前面的分法是按比例分,後面的是同年齡平均分父母的預算。
早在2000年前的巴比倫猶太法典-"塔木德"就已經記述如何去公平的分配債務問題?在法典中記錄著:一個債務人破產後,如何提供他的妻子將債務人所剩餘的資產作公平的分配。
我們來看它如何作分配:
如果他所剩的資產分別為100元,200元及300元,要如何分配?
如果他的資產只剩100元,猶太法典建議平均分配給每一個債權人,也就是各為33 1/3,這是一個資產均分的方法。如果他的資產只剩300元,猶太法典建議按比例分配給每一個債權人,也就是A:50元,B:100,C:150元。你或許覺得兩個不同的資產怎麼會有兩個不同的分法?但是更奇怪的是,如果資產剩200元時,又有另一種分法,猶太法典建議的分法為A:50元,B:75,C:75元,這種分法不是按比例分也不是平均分配,那它是用什麼方法算來的"分配方法"?為什麼B和C債權人會得到相同的75元?這些數字是如何算來的?許多的學者以為是不是法典的原稿寫錯了。
以下圖表是塔木德法典的解決方法:

過了2000年,沒有一個學者知道這些分配數字是根據什麼規則算出來的,一直到1980年Robert Aumann(2006年諾貝爾獎得主) 和 Michael Maschler在一篇論文發表,解開這謎題。他們是用賽局理論的合作賽局解-"核",去解釋這些分配的演算法。
他們主要的解決方法是:將有爭議的部份均分
首先我們以兩人為例,塔木德法典的應用可以超過2人。在法庭上,我們假設有兩個人(A,B)爭論一件衣物。A自稱有一半是屬於他的,B自稱全部是屬於他的。你是法官你要決定怎麼分?你可能會提出圴法(1 /2,1 /2)或按比例分(1 /3,2/ 3)。
但是,塔木德法典提供了一個不同的方法,它將有爭議的部份均分, 會得到這個答案(1 /4,3/ 4),A得到1/4,而B得到3/4。我們來看它是如何做到的!
它的原理可以分為三步驟。首先,確定哪些部分是存在爭議。在以上的案例中,正好有一半(1/2)的衣物是雙方都聲稱是自已的。其次,均分雙方之間有爭議的部份,有爭議的部份是1/2;因此,均分給每個人1/ 4。第三,將“沒有爭議的“部分,全部給聲稱屬於自已的人。有爭議的部份是1/2(A,B都聲稱);沒有爭議的部份也是1/2(只有B聲稱,因為他宣稱全部都是他的),所以將這沒有爭議的部份1/2給B。我們可以統計一下:A得到1/ 4,而B得到1/ 4+1/2=3/4。這結果的分配邏輯為:將這衣物的1/4分給A(自稱有一半是屬於她的);將衣物的3/4分給B(自稱全部是屬於她的)。

這個答案可能你覺得很很奇怪,但這分配方法是依照於社會習俗而制定。我們可以用這種分配原理應用在其它的案例。回到猶太人破產問題的債務分配。我們先將問題縮小,假設有兩個債權人A和C,債務人剩下的資產有三情況分別為66 2/3元,125元及200元,債權人A宣稱債務人欠他100元和C宣稱債務人欠他300。
我們用以上的三步驟分別計算不同倩況的債務分配。
情況一:債務人剩下的資產為66 2/3元
因為雙方宣稱債務人欠的錢(分別A:100元,C:300元)均大於剩下的資產66 2/3元,所以有爭議的部分為66 2/3元,將它均分為33 1/3元,所以每個人都得到33 1/3元。
情況二:債務人剩下的資產為125元
因為雙方宣稱債務人欠的錢(分別A:100元,C:300元),有爭議的部分為A所宣稱的100元,將它均分兩人各得50元。沒有爭議的部份為125-100=25元,給全部聲稱屬於自已的人(C)。所以A得到50元,C得到50元加上25元為75元。
情況三:債務人剩下的資產為200元
同樣地,因為雙方宣稱債務人欠的錢(分別A:100元,C:300元),有爭議的部分為A所宣稱的100元,將它均分兩人各得50元。沒有爭議的部份為200-100=100元,給全部聲稱屬於自已的人(C)。所以A得到50元,C得到50元加上100元為150元。整理三種情況如下圖:

同理地,我們可以比較A和B的情況,雙方宣稱債務人欠的錢(分別A:100元,B:200元)以及比較B和C的情況,雙方宣稱債務人欠的錢(分別A:200元,B:300元),我們用同樣的原理-三個步驟得到如下的兩圖:









有了以上初步的解說後,我們可以解釋猶太人破產問題的債務分配問題
有一個人在破產前欠了三個人(A,B,C)的錢,分別為A:100元, B:200元, 和C:300元, 如果破產人剩餘200元, 塔木德法典建議的分法為A:50元,B:75,C:75元:我們來分析為什麼會有這個答案?
首先我們以兩人(A:100元, B:200元)為例,同樣地,運用原理三步驟, 有爭議的部分為A所宣稱的100元,將它均分兩人各得50元。剩餘200元減50元等於150元,給B和C,所以B和C有爭議的部份為150元,均分75元給B和C。
讓我們用”水注入連結容器的法則”來解釋有爭議的部份均分的問題,以便於瞭解其它案例:
同樣假設有兩個債權人A和B,我們想像有兩個不同容量的容器,他們的容量代表他們所宣稱的欠款數量(如下圖)



把它們的容量各切一半,100容量上半部是50,下半部是50,200容量上半部是100,下半部是100,水量為剩餘的資產(金額),中間水管的空間我們把它忽略不考慮,當水量為125時,將注水入兩個容器中,會將第一個容器A下半部先補滿,剩餘的75再流給容器B下半部。所以兩者的分配為 :A給50,B給75。

當水量為175時,將175注入兩個容器中,會將第一個容器A下半部50先補滿,剩餘的125再流給容器B下半部100,再流入容器B上半部25。所以兩者的分配為 :A給50,B給125。如右下圖.

現在我們來看三個容器也就是有三個債權人A:100元, B:200元, 和C:300元,把它們的容量各切一半, A:100容量上半部是50,下半部是50,B:200容量上半部是100,下半部是100, C:300容量上半部是150,下半部是150,
如果水量200為剩餘的資產(金額),將200量注入三個容器中,會將第一個容器A下半部50先補滿,剩餘的150會平均流給容器B及容器C的下半部各75的水。所以三者的分配為 :A給50,B給75及C給75。如下圖.

如果水量400為剩餘的資產(金額),將400量注入三個容器中,會將第一個容器A下半部50先補滿,剩餘的350會流給容器B及容器C,它們的下半部都補滿後,三個容器的水量共用了300,400減300等於100,剩下的100會往容器B及容器C上半部流。容器B及容器C上半部剩下的空間會相等, 容器B及容器C上半部的空間量共250(B:100,C:150), 剩下的100流入後剩150, 因為容器B及容器C上半部剩下的空間會相等,150切一半為75, B上半部容量100減75為25(流給B上半部的水量); C上半部容量150減75為75(流給C上半部的水量),所以三者的分配為 :A給50,B給100+25及C給150+75。
三者的分配水量為A給50,B給125及C給225。如下圖.


同理用”水注入連結容器的法則”可以將塔木德Talmud)內記載的圖表(如下表)一一解出。


Aumann真是太厲害了。”有爭議的部份均分這就是合作賽局的解””,下次再和大家分享。 

參考來源:"Game Theory in the Talmud,"Journal of Economic Theory 36 (1985), pp. 195-213, written by Robert Aumann, and retrieved from Presh Talwalkar’s website (Mind your decisions).

一位父親的祈禱_麥克阿瑟將軍

A Father's Prayer
by General Douglas MacArthur
Build me a son, O Lord, who will be strong enough to know when he is weak and brave enough to face himself when he is afraid;

One who will be proud and unbending in honest defeat,  And humble, and gentle in victory. Build me a son whose wishes will not take the place of deeds;  A son who will know Thee – and that to know himself is the foundation stone of knowledge. Lead him, I pray, not in the path of ease and comfort, but under the stress and spur of difficulties and challenge. Here, let him learn to stand up in the storm; here let him learn compassion for those that fail. Build me a son whose heart will be clear, whose goal will be high, a son who will master himself before he seeks to master other men, one who will reach into the future, yet never forget the past. And after all these things are his, add, I pray, enough of a sense of humor, so that he may always be serious, yet never take himself too seriously. Give him humility, so that he may always remember the simplicity of true greatness, the open mind of true wisdom, and the meekness of true strength.        
” Then I, his father, will dare to whisper, "I have not lived in vain."
(This reflection was written by General MacArthur, during his early days in the Phillipines during the Pacific War, and was left as a spiritual legacy to his son Arthur. Made public after the general's death in 1964.)
       
主呀!
請教導我的兒子在軟弱時能夠堅強不屈,在懼怕時能夠勇敢自持,
在誠實的失敗中毫不氣餒,在光明的勝利中仍能保持謙遜溫和.
請教導我兒子篤實力行而不從事空想,使他認識你
同時也認識他自己,這才是一切知識的開端,
我祈求你不要將他引上逸樂之途,
而將他置於困難及挑戰的磨鍊與剌激之下,
使他學著在風雨中站立起來,
而又由此學著同情那些跌倒的人,
求你讓他有一顆純潔的心,有一個高尚的目標,
在學習指揮別人之前先學會自制,
在邁向未來之時而不遺忘過去,
主呀!
在他有了這些美德之後,我還要祈求你賜給他充份的幽默感,以免他過份嚴肅
賜給他謙虛,才能使他永遠記得
真正的偉大是單純
真正的智慧是坦率
真正的力量是溫和
然後
作為父親的我才敢輕聲地說,
我總算這輩子沒有白活.
上一篇是美國五星上將麥克阿瑟為他兒子的祈禱文,以下是麥克阿瑟將軍的父親,Arthur MacArthur 為他的祈禱文,亞瑟,麥克阿瑟也是一位軍人,他不只造就了一個五星上將,更將信仰傳給孩子,讓他們藉由禱告,度過無數風浪。
親愛的天父,祈求您,讓我成為一個比較好的父親,教導我了解我的孩子,耐心地傾聽他們想說的話,和藹地回答他們的問題,讓我避免打岔或駁斥。幫助我對他們有禮貌,就如同我希望他們對我有禮貌一樣。禁止我嘲笑他們的錯誤,或將他們的言行視為可恥或可笑的。希望我永遠不要因憤怒、怨恨而處罰他們,想藉以顯示我的權威。幫助我,親愛的主!藉由我的言行,讓他們了解誠實的確可以帶來幸福。減少我內心的不善,不要苛求他們有成人的成熟程度和判斷力。讓我不要剝奪他們想要為自己做事或自己做決定的機會。幫助我應許他們合理的要求,同時給我勇氣拒絕可能會對他們造成傷害的特權。主啊!幫助我成為一個公平、正直、和藹的父親。讓我得到他們的愛和尊敬,他們會想要學習我的榜樣。這將是最高的讚美。阿們!

俾斯麥海域空襲戰The Battle of the Bismarck Sea

敵我雙方的選擇為納許均衡
二次世界大戰時美、日兩國在南太洋戰爭打的如火如荼,1943年2月28日日本艦隊奉命從新不列顛島的拉包爾Rabaul運送軍隊6900人到新幾內亞的萊城Lae,參加戰鬥。

日本海軍有兩條路線可以選擇,一條是北線一條是南線。由於熱帶颶風剛過,北線是下雨天,而南線是晴天,日本艦隊不管走那條路線,航程都是三天,航程圖如下:

美國空軍知道日本艦隊即將行動,想要用轟炸機轟炸日本艦隊,但是他們不知道日本艦隊走那條路線,他們要選擇其一條路線(北線或南線)來進行轟炸任務。如果日本艦隊的路線剛好是美國轟炸機轟炸的路線,則美國空軍可以完整的轟炸三天,如果不是,等繞回另外一條路線時,則美國失去一天攻擊的機會。另外下雨天的北線也會因為視線不良,使其轟炸機相當損失一天轟炸的戰果。有了以上天氣狀況及選擇的條件後,如果你是美國空軍指揮官(Kenney)會選擇轟炸那條路線?如果你是日本艦隊指揮官(Imamura)會選擇航行那條路線以減少航隊被轟炸的損失?
我們可以用賽局理論的矩陣圖(Bi-Matrix)分析,有4種情況如下圖:

1.如果美國空軍選定轟炸北線,而日本艦隊也走北線,因為北線雨天(損失一天),美國空軍有轟炸兩天的戰果,相對日本海軍兩天被轟炸的損失。
2.如果美國空軍選定轟炸北線,而日本艦隊走南線,繞完北線去轟炸南線,則美國失去一天攻擊的機會,天氣晴朗,美國空軍還有轟炸兩天的戰果,相對日本海軍兩天被轟炸的損失。
3.如果美國空軍選定轟炸南線,而日本艦隊走北線,繞完南線去轟炸北線,則美國空軍失去一天攻擊的機會,因為北線雨天,又損失一天,美國最後只剩下轟炸一天的戰果,相對日本海軍一天被轟炸的損失。
4.如果美國空軍選定轟炸南線,而日本艦隊走南線,天氣晴朗,可以完完整整的炸三天,相對日本海軍三天被轟炸的損失。
我們用劣勢削除法,可以分析納許均衡為:美國空軍選定轟炸北線,而日本海軍同樣也選擇航行北線。我們翻開二戰的歷史來看,日本海軍指揮官木村昌福少將(Imamura)面對美軍的優勢空權,最後選擇最小損失的北線來運輸船隊,美國空軍指揮官喬治·肯尼(Kenney)知道日軍一定會選擇北線,雖然選擇南線可能會獲得最大轟炸戰果(三天),但最終還是選擇北線,結果日軍運輸艦8艘,驅逐艦4艘被擊沉,士兵3千多名落海失蹤或被炸死,損失物資達2千多噸。
參考來源:O. HAYWOOD, “Military Decisions and Game Theory,” Journal of the Operations Research Society of American (November 1954), pp. 365-385.

古巴飛彈危機The Cuban Missile Crisis

危機邊緣政策的運用(Brinkmanship)
原子彈結束了二戰,美國與蘇聯兩國開始進入一個製造核子武器的競賽,就是所謂的冷戰時期,在1962年10月衝突達到一個最高點,核戰一觸擊發,這個事件為“古巴飛彈危機”。

美國情治單位發現蘇聯陸續的運輸中程彈導飛彈的裝備及零件至中美洲的古巴,這彈導飛彈可以裝載核子彈頭,射程涵蓋了美國華府,面對蘇聯的挑釁,美國當時的總統甘迺迪面臨是否要出兵古巴的困境?經過美國智囊團與甘迺迪總統的研析後,決定用比較溫和的方式-『海上檢查古巴商船』來反擊蘇聯的威脅。
當時兩國均有鷹派及溫和派,先假定蘇聯的溫和派較多,我們可以將雙方先後決策的對應方式用樹狀圖描繪,如下圖:

我們用倒推法可以求出子賽局完美均衡為美國實施商船檢查,而蘇聯將彈導飛彈撤回。如下圖。

如果假定蘇聯的鷹派較多,同樣地,我們可以將雙方先後決策的對應方式用樹狀圖描繪,如下圖:

我們用倒推法可以求出子賽局完美均衡為美國實施商船檢查,而蘇聯潛艇反擊美國驅逐艦,最後爆發核子戰。如下圖。

美國總統甘迺迪面對這兩個可能的結果,不斷的和幕僚研析,到底蘇聯決策團隊中,鷹派的人數比較多,還是溫和派的人數比較多,鷹派的機率要小於百分之幾? 『海上檢查古巴商船』的策略才會奏效,才會讓蘇聯將彈導飛彈撤回?
只有上帝知道(Nature) 蘇聯決策團隊中鷹派的機率和溫和派的機率為多少? 我們假設鷹派的機率為p,溫和派的機率為1-p,而美國用『檢驗商船』的機率為q,採取容忍的機率為1-q,我們將之前兩個鷹派與溫和派的樹狀圖結合在一起,如下圖。

如果美國實施商船檢查,而蘇聯潛艇反擊美國驅逐艦,沒有人知道後果會變如何?但我們知道美國用『檢查商船』的機率為q,採取容忍的機率為1-q,所以可以重新計算美國與蘇聯爆發戰爭的期望報酬。
我們先計算美國的最大容忍度。如果美國面對蘇聯是鷹派,機率p,鷹派對抗美國,美國會得到-10。如果美國面對蘇聯是溫和派,機率1-p,溫和派撤退,美國會得到1。美國發出威脅運用檢查商船方式獲得期望報酬為 -10p+(1-p)=1-11p,若美國不發出威脅會得到-2, 美國發出威脅期望值大於不發出威脅的期望值,為1-11p > -2, 即 p< 3/11=0.27,時美國就應該發出威脅。這是美國最大容忍度。
再看美國q的機率為-10,1-q的機率為-2,所以期望值會變為-10q-2(1-q)=-2-8q
蘇聯有區分鷹派和溫和派兩種, 鷹派的話,在美國反擊的q機率中,蘇聯對抗會得到-4, 在美國容忍的1-q機率中,蘇聯對抗會得到2, 所以期望值會變為-4+2(1-q)=2-6q。溫和派的話,在美國反擊的q機率中,蘇聯對抗會得到-8, 在美國容忍的1-q機率中,蘇聯對抗會得到2, 所以期望值會變為-8q+2(1-q)=2-10q。有了以上的新的期望值後,我們可以重新建構賽局樹狀圖,如下: 




美國如果面對蘇聯是溫和派,它發現蘇聯撤退比對抗獲利還多時,也就是-4 >2-10q,q>0.6,因此美國的危機邊緣政策(檢查商船)至少要大於60%,對溫和派才有嚇阻力,蘇聯才會退卻。這個q值0.6我們稱它為最低有效限度(effectiveness condition)。
我們來看p和q的相關性,如果蘇聯是鷹派,機率是p,美國發出威脅,蘇聯對抗,美國得到的報酬為-2-8q。如果蘇聯是溫和派,機率是1-p,美國發出威脅,蘇聯撤退,美國得到的報酬為1。兩者相加的期望值為美國不管是面對鷹派或溫和派,發出威脅的期望值為(-2-8qp + 1×(1-p) = -8pq-3p+1。這值會大於美國不發出威脅獲得的報酬-2,我們可以得到式子: -8pq-3p+1 > -2 , q < 0.375(1-p)/p,我們用這不等式畫出下圖:



在圖中我們可以看到美國總統甘迺迪知道p值落在1/2到1/3之間,他藉由發表演說來緩和緊急氣氛,以及運用漸近式地於海上實施武裝檢查古巴商船(Quarantine),就如沿著曲線慢慢上升,到蘇聯仍可接受的範圍內(圖下方灰色部份),最後蘇聯撤退。解決了古巴飛彈危機。
參考來源: Games of Strategy, Dixit and Skeath, 2007.

鷹鴿賽局(Hawk-Dove Game)

生物演化穩定策略(evolutionary-stable strategy, ESS)
有兩個同類的動物(例如兩隻愛吃食物的豬),它們為了爭奪食物,通常會有兩個策略-鷹和鴿,鷹的策略較強硬具有攻擊性,鴿的策略較溫和願意和競爭者分享食物而避免打架。
當它們競爭一個有價值的食物V時,如果兩個動物都採用鷹的策略時,它們會打架,雙方受傷而付出代價為C,每隻動物都只能得到一半的食物V/2,打架而付出的代價也各為一半C/2,兩個動物得到的期望報酬各為(V-C)/2。當兩隻豬都採用較溫和的鴿策略時,雙方不會打架,共同分享一半的食物,各得到報酬為V/2,如果一隻豬來硬的鷹策略,另一隻容忍用鴿策略,來硬的豬會得到V,容忍的豬會得0,什麼都沒得到。報酬矩陣圖如下:

這場賽局會變成囚犯困境(Prisoner’s dilemma)的賽局或者是懦夫賽局(Chicken game),以下我們比較“理性地策略選擇均衡方式”和“快速繁殖獲利的選擇方式”兩種不同的分析。
A. 理性均衡策略(Nash Equilibrium)
如果V>C,這賽局是囚犯困境(Prisoner’s dilemma)的賽局,雙方選擇(鴿, 鴿)是最好的結果,但鷹是優勢策略(dominant strategy),最終它們都會選擇(鷹, 鷹)。
如果V<C,這賽局是懦夫賽局,這賽局存在兩個純粹策略均衡:(鷹, 鴿),(鴿, 鷹),以及一個混合策略均衡,我們假設豬B選擇鷹策略的機率為p,豬A的選擇鷹與鴿混合策略的期望效用會相等,得到以下式子:


B. 演化穩定策略 (evolutionary-stability)當VC
首先我們假設鷹策略的豬佔有多數,大部分的豬都用鷹的策略,運用鴿策略的豬為少數的突變(mutant Doves),突變豬(鴿)入侵到用鷹策略佔有多數豬(鷹)群體中,在這賽局中,突變豬的類型為m類,佔全體豬的數量比例為d,多數豬(鷹)用鷹策略的豬佔全體豬的數量比例為1-d,我們用亂數配對,一個豬(鷹)遇上突變豬(鴿)的比例為d,獲得V,而遇到一隻豬(鷹)的比例為1-d,獲得(V-C)/2,所以我們可以算出一個豬(鷹)的適應性(fitness)為〔dV+(1-d)(V-C)/2〕。同樣地,也可以算出一個豬(鴿)的適應性(fitness)為〔d(V/2)+(1-d)*0〕。因為V>C,所以(V-C)/2>0,且V>0,V>V/2,d的值介於0和1之間,我們可以得知

因此我們可知豬(鷹)的適應性較大,突變豬(鴿)無法入侵到多數豬(鷹)群體中,豬(鷹)是演化穩定策略EES。也就是不管突變豬(鴿)的比例d為多少,經過不斷地配對演化,豬(鷹)的比例會漸漸增加,最後會站於優勢(predominant)。也就是,如果群體中豬(鴿)占多數,豬(鷹)占少數為突變豬,經過配對演化後,突變豬(鷹)最後還是站於優勢(predominant),漸漸讓豬(鴿)變不見。這結果和理性的均衡解(也就是囚犯困境)一樣(鷹, 鷹)。
C. 演化穩定策略 (evolutionary-stability)當V<C時
同樣地,我們假設用鷹策略的豬佔有多數,大部分的豬都用鷹的策略,運用鴿策略的豬為少數的突變豬(mutant Doves),兩個種豬得到的適應性和上一節一樣。因為V<C,所以(V-C)/2<0,且V>0,但是因為d非常小,我們可以得知

因此,突變豬(鴿)比多數豬(鷹)的適應性還高,所以可以入侵成功,讓豬(鷹)都變成豬(鴿)。
但是如果剛開始的群體大多數都是豬(鴿),我們就應該考慮少數突變豬(鷹)的比例,是否可以成功入侵多數豬(鴿)的群體?在這賽局中,豬(鷹)的類型為m類,佔全體豬的數量比例為h,多數豬(鴿)用鷹策略的豬佔全體豬的數量比例為1-h,我們用亂數配對,一個豬(鴿)遇上突變豬(鷹)的比例為h,獲得0,而遇到一隻豬(鴿)的比例為1-h,獲得V/2,所以我們可以算出一個豬(鴿)的適應性(fitness)為〔h(V/2)+(1-h)x0〕。同樣地,也可以算出一個豬(鷹)的適應性(fitness)為〔h(V-C)/2+(1-h)V〕。因為V<C,所以(V-C)/2<0,且V>0,但是d的值非常小,我們可以得知

因此,突變豬(鷹)比多數豬(鴿)的適應性還高,所以可以入侵成功,讓豬(鴿)都變成豬(鷹)。
由以上兩個情況,不管豬是用那一種策略,只要是突變豬,都能入侵成功,因此,V<C這賽局沒有演化穩定策略EES。
參考來源: Games of Strategy, Dixit and Skeath, 2007.

爵士樂欣賞-Michael Buble

Michael Buble是一位加拿大歌手,他的嗓音略微沙啞,剛聽時會有貓王在世的錯覺,不過再聽後,還是有獨特的個人風格。他的樂風將傳統流行樂、當代情歌、融合爵士、搖擺樂與古典浪漫派獨樹一幟。這版本是在紐約 Madison Square Garden live 的演唱會,請大家欣賞看看!

Everything 歌詞
You're a falling star, you're the get away car.
You're the line in the sand when I go too far.
You're the swimming pool, on an August day.
And you're the perfect thing to say.
And you play it coy but it's kinda cute.
Ah, when you smile at me you know exactly what you do.
Baby don't pretend that you don't know it's true.
'cause you can see it when I look at you.
[Chorus:]
And in this crazy life, and through these crazy times
It's you, it's you, you make me sing.
You're every line, you're every word, you're everything.
You're a carousel, you're a wishing well,
And you light me up, when you ring my bell.
You're a mystery, you're from outer space,
You're every minute of my everyday.
And I can't believe, uh that I'm your man,
And I get to kiss you baby just because I can.
Whatever comes our way, ah we'll see it through,
And you know that's what our love can do.
[Chorus]
So, la, la, la, la, la, la, la
So, la, la, la, la, la, la, la
[Chorus:]
And in this crazy life, and through these crazy times
It's you, it's you, you make me sing.
You're every line, you're every word, you're everything.
You're every song, and I sing along.
'Cause you're my everything.
Yeah, yeah
So, la, la, la, la, la, la, la
So, la, la, la, la, la, la, la

最愛古典音樂欣賞

20世紀最偉大的鋼琴家之一Rubinstein所演奏Chopin的英雄,是我聽過的版本中,最令我激賞。
Chopin是一個愛國的音樂家,"英雄"這曲目就是為他的祖國-波蘭所作的愛國樂曲。聽的時候會讓人激起愛國的情操。

貝多芬「悲愴」第3楽章

我最喜歡的貝多芬曲目-悲愴第3楽章,曲名叫悲愴,但聽的時候,不知道為什麼會讓我有種榮耀與愉悅。

美國洛杉磯航警局運用賽局理論建置巡查系統

911事件後美國洛杉磯航警局為因應未來恐怖攻擊的威脅,希望能建一個符合巡查人員的檢查點電腦配置系統
這系統不只能改善現行系統的不足,還能提昇破案率,預防犯罪事件的發生。由於巡查人力的不足,很難全面性的監控所有重要進出點(checkpoints),加上犯罪者能透視機場每日巡查的時間與地點。不定點巡查是現行系統主要預防犯罪的方法。所以洛杉磯航警局的電腦系統工程師利用賽局理論的貝斯史塔博格賽局(Bayesian Stackelberg game)建置隨機監控或巡點派遣軟體(ARMOR: Assistant for Randomized Monitoring over Routes),以提供巡查人員有效的監控機場安全,並介由巡查,即時地破獲非法行為。
我們假設這賽局有兩個玩家:巡警 (police agent)及犯罪者(adversaries),警員巡邏可選擇兩檢查點(check points):A 和B點。犯罪者同樣也有兩個選擇:選擇A 和B點進入LAX航站,根據以往巡警的破獲率及得到的報酬,以及犯罪者作案成功率及獲得的報酬,將兩者玩家的互動報酬製作如下矩陣表:

我們先說明什麼是Stackelberg game?在一個資訊不完全的賽局中,有一個先行者(leader)及一個後行者(follower),先行者會先選定一個策略,後行者根據先行者所選的策略,選定自已利潤最大化的策略。
我們回到以上的賽局,先看犯罪者,在圖1中,如果是靜態資訊完全賽局,只有一個純粹Nash均衡為(2, 1),也就是(臨檢A, 進入B),巡警臨檢“A”點,而犯罪者由“B”點進入。我們假設雙方的行為策略運用會有先後順序 ,以史坦伯格Stackelberg模型來分析這賽局,我們假定巡警是先行者(leader),犯罪者是後行者(follower),巡警先給定臨檢“A”點的混合策略機率μ和臨檢“B”點的混合策略機率1-μ,犯罪者看到這兩個巡邏點的機率後,就會選擇自已利潤最佳化的策略。我們給定巡警臨檢“A”點機率μ=0.5及臨檢“B”點機率1-μ=0.5,犯罪者看到這機率後比較選擇A和B的報酬(payoff) ,選擇由A進入的報酬為0.5×0+0.5×2=1,選擇由B進入的報酬為0.5×1+0.5×0=0.5,因此考量報酬最大化後,犯罪者會選擇由A點進入的策略。而巡警用混合策略得到的期望payoff為0.5×4+0.5×3=3.5。這值比純粹Nash均衡的2還要高。
我們考量資訊不完全的情況,假設犯罪者有兩種偏好類型(Types),第一種類型是恐怖份子(犯罪者類型1),另一種類型是運毒者(犯罪者類型2)。巡警只有一種類型-希望能抓到犯罪者。同樣地,根據以往巡警的破獲率及可得到的報酬,以及犯罪者兩種類型作案成功率及可獲得的報酬,將兩者玩家的互動報酬製作如下兩類型的矩陣表:

第一,我們假定犯罪者的類型1機率為q, 類型2機率為1-q,只有上帝知道q有多大,,我們用Nature來表示,將以上兩類型的Matrix合併成一個有先後順序的樹狀賽局圖,如下圖:

我們也可用漢撒意轉換(Harsanyi transformation),將以上兩個表格合併為下圖,從不完全訊息賽局轉為不完美訊息賽局(imperfect information)。

第二,經由漢撒意轉換後找出不完美訊息賽局的納許均衡,這均衡就是在不完全訊息賽局中的貝斯納許均衡。
1.在賽局中,我們可以知道犯罪者的純粹策有兩個:(A, B)。
2.犯罪者選擇A的混合策略的機率為λ,選擇B 的混合策略的機率為1-λ
3.犯罪者的Type1機率為q, Type2機率為1-q
4.巡警在犯罪者的Type1中,Patrol A的混合策略機率為μ1Patrol B的混合策略機率為1-μ1,在犯罪者的Type2中,Patrol A的混合策略機率為μ2Patrol B的混合策略機率為1-μ2
5.我們用比較巡警和犯罪者的payoff來決定純粹貝斯納許均衡:
給定巡警選擇臨檢A,由表中可知犯罪者的優勢策略是RB- R’B。
給定巡警選擇臨檢B,由表中可知犯罪者的優勢策略是RA- R’A。
反過來看,
給定犯罪者選擇RA- R’A,如果2+2q > 3,q>1/2由表中可知巡警的優勢策略是臨檢A,如果q<1/2,巡警的優勢策略是臨檢B。
給定犯罪者選擇RA- R’B,巡警的優勢策略是臨檢A。
給定犯罪者選擇RB- R’A,如果2 > 3-2qq>1/2由表中可知巡警的優勢策略是臨檢A,如果q<1/2,巡警的優勢策略是臨檢B。
給定犯罪者選擇RB- R’B,巡警的優勢策略是臨檢B。
由以上兩者的共同優勢策略,我們可知純粹貝斯納許均衡有兩個:1.當q>1/2(犯罪者的類型偏向恐怖份子),巡警的均衡策略是臨檢B,而犯罪者選擇RA- R’A。2.當q<1/2(犯罪者的類型偏向運毒者),巡警的均衡策略是臨檢A,而犯罪者選擇RB- R’B。
接著計算混合策略貝斯納許均衡(Mixed-strategy Bayes-Nash Equilibria)
首先考量巡警在類型1的情況下, 選A的期望報酬(expected payoff):與選B的期望報酬(expected payoff)相等
考量犯罪者的最佳選擇:
1.如果巡警在犯罪者類型1下的混合策略機率為μ1,如果巡警在犯罪者類型2下的混合策略機率為μ2,犯罪者選A的期望報酬(expected payoff)為:
在類型1選A為q[1×μ1+2×(1-μ1)]加上在類型2選A (1-q)[0×μ2+2×(1-μ2)]為
2q(1-μ1)+2(1-q)×(1-μ2)
2.犯罪者選B的期望報酬(expected payoff)為:
在類型1選B為q[1×μ1+0×(1-μ1)]加上在類型2選B (1-q)[1×μ2+0×(1-μ2)]為
1+(1-qμ2
犯罪者選A的期望報酬等於選A的期望報酬
1+(1-qμ2=2q(1-μ1)+2(1-q)×(1-μ2)
q(4μ1-2)=(1-q)×(2-3μ2)
當q=1時犯罪者為恐怖份子,μ1=1/2,當q=0時犯罪者為運毒者,μ2=2/3
所以混合策略貝斯納許均衡為(μ1,μ2)=(1/2, 2/3)
分析類型1的犯罪者(恐怖份子)
我們運用史坦伯格Stackelberg模型來分析這賽局,我們假定巡警是先行者(leader),犯罪者是後行者(follower),巡警先給定臨檢“A”點的混合策略機率μ1和臨檢“B”點的混合策略機率1-μ1,犯罪者看到這兩個巡邏點的機率後,就會選擇自已利潤最佳化的策略。我們給定巡警臨檢“A”點機率μ1=0.5及臨檢“B”點機率1-μ1=0.5,犯罪者看到這機率後最大化她的報酬(payoff) ,巡警用混合策略得到的期望payoff為0.5×4+0.5×3=3.5。這值比純粹Nash均衡的2還要高。所以選擇臨檢A的機率為50%,而選擇臨檢B的機率為50%。
分析類型2的犯罪者(運毒者)
我們運用史坦伯格Stackelberg模型來分析這賽局,我們假定巡警是先行者(leader),犯罪者是後行者(follower),巡警先給定臨檢“A”點的混合策略機率μ2和臨檢“B”點的混合策略機率1-μ2,犯罪者看到這兩個巡邏點的機率後,就會選擇自已利潤最佳化的策略。我們給定巡警臨檢“A”點機率μ=2/3及臨檢“B”點機率1-μ=1/3,犯罪者看到這機率後比較選擇A和B的報酬(payoff) ,選擇由A進入的報酬為2/3×0+1/3×2=2/3,選擇由B進入的報酬為2/3×1+1/3×0=2/3,因此考量報酬最大化後,犯罪者會選擇由A點進入的策略。而巡警用混合策略得到的期望payoff為2/3×2+1/3×3=7/3≒2.33。這值比純粹Nash均衡的3還要小。她會選擇純粹Nash均衡:(臨檢B, 進入A),μ2=1,所以選擇臨檢B的機率為100%,而選擇臨檢A的機率為0%。

美國洛杉磯航警局利用賽局理論建置隨機巡點派遣軟體(ARMOR: Assistant for Randomized Monitoring over Routes),這軟體先請使用人員及專家(巡警)輸入檢查點的需要次數,並結合以往的查獲資訊,將這些資訊建構貝斯史坦伯格賽局報酬矩陣表,解出混合策略貝斯賽局的最適解(均衡),以得到各檢查點的混合策略機率值,最後輸出巡警可能會疏忽的檢查點,並提供每日巡查點的行程表(Suggested schedule) 
這電腦軟體系統,得到洛杉磯航警局的巡警們的許多正面回應,例如這軟體可以減輕巡警們的工作負荷,提昇破獲率,以及有效地維護機場內入出境旅客的安全。
 參考來源:James Pita, Manish Jain, Fernando Ordonez, Christopher Portway, Milind Tambe, Craig Western, Praveen Paruchuri, Sarit Kraus Using Game Theory for Los Angeles Airport Security, AI Magazine 30(1):43‐57 2009. 

賽局理論預測三個伊朗未來走向

Bruce Bueno de Mesquita教授於TED的演講

發生車禍處理步驟

.停車-保留現場
放置警告標誌記下發生日期時間、地點及當時狀況
.通知交通隊或警察局(110,119)
立即打110.或119傷者送醫:救護車.送往大型公私立醫院為宜,情非得已,決不用自已的車運送傷患。員警會製作筆錄,繪製現場圖,記下處理現場員警姓名、服務單位、服務編號及車牌。本校(中原大學)學生請撥打校安中心24小時值勤專線03-2657777,協請教官處理。
.0800-******理賠專線
取出強制卡,翻到背面馬上打0800理賠專線向服務人員備案,告知現場狀況。
.現場作記號 原則不破壞現場為原則
為輕微無人傷亡之車禍,於自已車及對方車之四個角作上記號(噴漆,粉筆,口紅),或等員警來紀錄標示完成,才能將車子移到路旁,最好能拍照存證,四邊都要照到,連煞車痕跡均要拍攝。  
.切勿私下和解 對照車主(駕駛人)姓名,到交通隊或警察局填寫和解書
記下對方車主(駕駛人)姓名.電話.車牌號碼.車輛型式及對方保險公司切勿私下和解。警察局或交通隊均備有現成且符合法律程序的和解書,最好能在警員的見證下,完成和解程序。和解書內文除了寫清楚和解金額,一定要記得寫上,雙方「放棄」或「保留」,對於車禍的「民刑事求償權」及「刑事告訴權」,因為寫上放棄,等於從此互不相干,寫「保留」,日後被害者可以追求賠償。
.5日內至保險公司申請理賠
填妥理賠申請書、滿意書及和解書上保車(自已車)的基本資料,可在車廠可請車廠人員協助填寫保險單。行駕照、私章、黃紅單也一併帶去保險公司。
[引用] http://www.coltplus.tw/twcpc/viewthread.php?tid=2065&extra=page%3D1

小車禍私下和解 兩年後飛來官司

屏東縣最近陸續有四名機車騎士,接到法院開庭通知,才知多年前私下和解的小車禍,因保險公司為車主付費修車後,把債權「賣給」財務顧問管理公司,被財顧公司回頭指控要付過失責任求償,莫名惹上官司又賠錢。
據了解,財顧公司都是在法定求償限期的最後一天提告,被告的機車騎士滿頭霧水,找上當初和解的轎車車主,車主也完全不知情。因當初是私下和解,手邊沒有留下有利事證,往返法院疲於奔命之餘,最後只好讓步,同意財顧公司所提打折付款的「和解」條件。
針對這一現象,法官表示,保險公司利用專業知識,「合法」賣出債權給財顧公司追討車禍出險費,這種作為侵害善良無辜第三者,也破壞人性最可貴的互信一面,將函文財政部對這些保險公司祭出處罰,同時也提醒民眾,「為免天外飛來求償官司」,即使是小車禍,也千萬別私下和解
「受害人」之一的陳姓男子表示,他兩年前騎機車,與陳姓轎車車主發生車禍,他人車倒地輕微擦傷,對方還給他二千元和解,他以為沒事了,沒想到兩年後,接獲法院開庭通知,到庭發現根本不認識對方。
他追問才知對方是財務顧問管理公司,原來陳姓車主轎車受損,進廠修理花了四萬五千元,保險公司付款後,將債權賣給這家顧問公司,顧問公司取得代位求償權後,在民法規定兩年求償期的最後一天,向法院提出毀損賠償的告訴。
陳姓男子表示,當初只是擦撞,以為只是小車禍,加上地點在十字路口,為免影響交通,同意對方給他二千元和解,「如果對方沒有錯,怎麼可能給我這筆錢!」
但顧問公司人員主張,陳姓車主車門毀損,送廠修理,保險公司支付這筆修理費,指陳應負毀損賠償責任。
陳姓男子表示,時隔兩年已找不到證人及相關事證,更沒有時間和顧問公司打官司、跑法院,只好接受調解,經協調以修理費的三成、一萬五千元和解。
法官說,類似陳姓男子的案例,目前還有三件,賣出債權的兩家保險公司,在保險業相當知名。一般人發生擦撞小車禍,幾乎都會付點小錢立即和解,即使沒有證人,基於信賴原則,雙方都會認為和解程序已完成,未料事後卻反遭求償。
屏東地院法官潘正屏表示,發生交通事故,即使私下和解,「記得一定要寫和解書!」有了和解書,往後發生財務顧問公司代位求償時,法官也會傳訊車主還原事情真相,對當事人多份保障。
潘正屏說,保險公司客戶發生交通事故,客戶雖以現金與對方達成和解,但未知會保險公司,車輛受損進廠修理,保險公司支付該筆修理費用後,可能不認帳,進行求償或出賣債權給財務顧問公司代位求償。
財顧公司選在最後一天提告,「這種行為一定是懂得法律的內行人所為」,因為被告的民眾接獲法院通知,已過了反訴也提求償的時效,當初和解的民眾,無法以相同理由,也向對方求償,幾乎等於無還手能力。
潘正屏表示,在這種形勢下,和解的民眾完全處於劣勢。但法官審理這種案件,會要求警方提供現場事故圖,「了解誰的過失比較大」,因此即使和解,「也留下書面證據!」和解最好是在警方處理見證下為之,否則至少要寫「放棄民刑事追究」字樣,杜絕日後興訟可能。
【2011/04/05 聯合報】
屏東地院法官潘正屏表示,發生交通事故,即使私下和解,「記得一定要寫和解書!」有了和解書,往後發生財務顧問公司代位求償時,法官也會傳訊車主還原事情真相,對當事人多份保障。
潘正屏說,保險公司客戶發生交通事故,客戶雖以現金與對方達成和解,但未知會保險公司,車輛受損進廠修理,保險公司支付該筆修理費用後,可能不認帳,進行求償或出賣債權給財務顧問公司代位求償。
財顧公司選在最後一天提告,「這種行為一定是懂得法律的內行人所為」,因為被告的民眾接獲法院通知,已過了反訴也提求償的時效,當初和解的民眾,無法以相同理由,也向對方求償,幾乎等於無還手能力。
潘正屏表示,在這種形勢下,和解的民眾完全處於劣勢。但法官審理這種案件,會要求警方提供現場事故圖,「了解誰的過失比較大」,因此即使和解,「也留下書面證據!」和解最好是在警方處理見證下為之,否則至少要寫「放棄民刑事追究」字樣,杜絕日後興訟可能。
引用2011/04/05 聯合報新聞
【記者孫中英/台北報導】產險業者說,產險公司向第三人追討理賠金額的前提是,第三人因「過失或故意」造成理賠事故,如果第三人沒有疏失,產險公司只好自認倒楣。
舉例來說,甲、乙兩車相撞,經警方鑑定甲車為肇事車輛;此時乙車投保的產險公司,會先理賠乙車車主,假設理賠五萬元。理賠後,乙車的產險公司,就會向「甲車車主」追討這筆五萬元理賠金額。
產險業者說,一般大型產險公司,都有法務人員專門追償這些有侵權行為的理賠案件,但有些產險公司人力不足就會「委外」,委託資產管理公司代為追討。
產險業者指出,為避免暴力討債,產險業委外追償債權,除了依規定辦理之外,還要向保險局報備。 

賽局理論與決策理論的不同處

印度有一個故事,一個賣帽子的商人到城市批了一大籃帽子,他帶著這些帽子走到森林中看到一個大樹,因為太累於是坐下來休息,他用一個帽子遮蓋自己的雙眼小睡一會兒,當他醒來時發現有一群猴子把他買來的帽子戴在頭上,並且爬到大樹上玩耍,商人一時不知道如何將這些帽子拿回來,於是口出穢言非常生氣地將自已頭上戴的帽子往地上一丟,沒想到,這些猴子模仿商人氣憤的動作,也將自已頭上戴的帽子丟在地上,商人看到這些帽子掉到地上,於是迅速地將這些帽子收回籃子,回到家裏向兒子及孫子述說這件有趣的事。過了30年,商人的孫子也當起賣帽子的商人,有一天商人的孫子,同樣地到城市批了一大籃帽子,走到森林中看到一個大樹,於是坐下來小睡一下,當他醒來時發現有一群猴子把他買來的帽子戴在頭上在大樹上玩耍,他想起30年前阿公跟他講:猴子戴帽的故事,於是高興地將他的帽子丟到地上,很奇怪的,樹上沒有一隻猴子將帽子丟到地上,突然有一隻猴子跳下來,走到商人面前,把商人的帽子撿起來,並賞了商人一記耳光,對他說:你有阿公,我也有阿公?

這個故事告訴我們一個理性的人在做決策時,應該要考慮你的對手在想什麼?我們跟他人再做競爭時,一定會有互動,有了互動後你必須考量對方的策略和你的策略,他出的策略是什麼?你有什麼樣的策略去應對?會產生怎麼樣的結果?如果你只是單方面考慮到自已的話,是不夠周全,我們人在這社會中,只要你和別人有競爭,有互動時,你就應該要考慮到對方,不是只有自已。