鷹鴿賽局(Hawk-Dove Game)

生物演化穩定策略(evolutionary-stable strategy, ESS)
有兩個同類的動物(例如兩隻愛吃食物的豬)，它們為了爭奪食物，通常會有兩個策略－鷹和鴿，鷹的策略較強硬具有攻擊性，鴿的策略較溫和願意和競爭者分享食物而避免打架。
當它們競爭一個有價值的食物V時，如果兩個動物都採用鷹的策略時，它們會打架，雙方受傷而付出代價為C，每隻動物都只能得到一半的食物V/2,打架而付出的代價也各為一半C/2,兩個動物得到的期望報酬各為(V-C)/2。當兩隻豬都採用較溫和的鴿策略時，雙方不會打架，共同分享一半的食物，各得到報酬為V/2，如果一隻豬來硬的鷹策略，另一隻容忍用鴿策略，來硬的豬會得到V，容忍的豬會得0，什麼都沒得到。報酬矩陣圖如下：

這場賽局會變成囚犯困境(Prisoner’s dilemma)的賽局或者是懦夫賽局(Chicken game)，以下我們比較“理性地策略選擇均衡方式”和“快速繁殖獲利的選擇方式”兩種不同的分析。
A. 理性均衡策略(Nash Equilibrium)
如果V＞C，這賽局是囚犯困境(Prisoner’s dilemma)的賽局，雙方選擇（鴿, 鴿）是最好的結果，但鷹是優勢策略(dominant strategy)，最終它們都會選擇（鷹, 鷹）。
如果V＜C，這賽局是懦夫賽局，這賽局存在兩個純粹策略均衡：（鷹, 鴿），（鴿, 鷹），以及一個混合策略均衡，我們假設豬B選擇鷹策略的機率為p，豬A的選擇鷹與鴿混合策略的期望效用會相等，得到以下式子：

B. 演化穩定策略 (evolutionary-stability)當V＞C時
首先我們假設鷹策略的豬佔有多數，大部分的豬都用鷹的策略，運用鴿策略的豬為少數的突變(mutant Doves)，突變豬（鴿）入侵到用鷹策略佔有多數豬（鷹）群體中，在這賽局中，突變豬的類型為m類，佔全體豬的數量比例為d，多數豬（鷹）用鷹策略的豬佔全體豬的數量比例為1-d，我們用亂數配對，一個豬（鷹）遇上突變豬（鴿）的比例為d，獲得V，而遇到一隻豬（鷹）的比例為1-d，獲得(V-C)/2，所以我們可以算出一個豬（鷹）的適應性（fitness）為〔dV+(1-d)(V-C)/2〕。同樣地，也可以算出一個豬（鴿）的適應性（fitness）為〔d(V/2)+(1-d)*0〕。因為V＞C，所以(V-C)/2＞0，且V＞0，V＞V/2，d的值介於0和1之間，我們可以得知

因此我們可知豬（鷹）的適應性較大，突變豬（鴿）無法入侵到多數豬（鷹）群體中，豬（鷹）是演化穩定策略EES。也就是不管突變豬（鴿）的比例d為多少，經過不斷地配對演化，豬（鷹）的比例會漸漸增加，最後會站於優勢（predominant）。也就是，如果群體中豬（鴿）占多數，豬（鷹）占少數為突變豬，經過配對演化後，突變豬（鷹）最後還是站於優勢（predominant），漸漸讓豬（鴿）變不見。這結果和理性的均衡解（也就是囚犯困境）一樣（鷹, 鷹）。
C. 演化穩定策略 (evolutionary-stability)當V＜C時
同樣地，我們假設用鷹策略的豬佔有多數，大部分的豬都用鷹的策略，運用鴿策略的豬為少數的突變豬(mutant Doves)，兩個種豬得到的適應性和上一節一樣。因為V＜C，所以(V-C)/2＜0，且V＞0，但是因為d非常小，我們可以得知

因此，突變豬（鴿）比多數豬（鷹）的適應性還高，所以可以入侵成功，讓豬（鷹）都變成豬（鴿）。
但是如果剛開始的群體大多數都是豬（鴿），我們就應該考慮少數突變豬（鷹）的比例，是否可以成功入侵多數豬（鴿）的群體？在這賽局中，豬（鷹）的類型為m類，佔全體豬的數量比例為h，多數豬（鴿）用鷹策略的豬佔全體豬的數量比例為1-h，我們用亂數配對，一個豬（鴿）遇上突變豬（鷹）的比例為h，獲得0，而遇到一隻豬（鴿）的比例為1-h，獲得V/2，所以我們可以算出一個豬（鴿）的適應性（fitness）為〔h(V/2)+(1-h)x0〕。同樣地，也可以算出一個豬（鷹）的適應性（fitness）為〔h(V-C)/2+(1-h)V〕。因為V＜C，所以(V-C)/2＜0，且V＞0，但是d的值非常小，我們可以得知

因此，突變豬（鷹）比多數豬（鴿）的適應性還高，所以可以入侵成功，讓豬（鴿）都變成豬（鷹）。
由以上兩個情況，不管豬是用那一種策略，只要是突變豬，都能入侵成功，因此，V＜C這賽局沒有演化穩定策略EES。
參考來源: Games of Strategy, Dixit and Skeath, 2007.