至少有一人是髒臉

奧曼（Robert J.Aumann於2005年獲得諾貝爾經濟學獎）以一個簡單的例子來說明什麼是共同知識？假設有三位幼稚園的小學生上塗鴉課時都把臉都弄髒了，他們三人圍坐在老師身旁，老師一個一個的問每一位小學生：自己的臉是否弄髒？猜對有獎勵，猜錯會被處罰。教室內沒有鏡子，也不允許他們彼此交談，剛開始這三位小學生都不敢猜，因為每位小學生只能看到另外二位的臉，但是無法看到自己的臉是否弄髒？現在老師加問了一句話：「你們中間至少有一位的臉是髒的。」這句話使三位小學生產生相同的知識。因為這句話說出來，讓每位都知道「三人中間至少有一人的臉是髒的。」有了這句話後，他們就可以互相推論彼此間的決定。老師重新開始以上面兩句依序的去問三位小學生，第一位和第二位被問到的小學生雖然還是不敢猜，但是第三位小學生就很確定的答出自己的臉是髒的。為什麼第三位小學生這麼聰明，可以按照第一和第二位小學生的答案，來推論出自己的臉有沒有髒？我們來看以下分析：

因為教室沒有鏡子，三位小學生都不知道：「所有人的臉都是髒的」。當老師問第一位時，他看到另外二位的小朋友是髒臉，他心裏會想：如果另外二位的臉是乾淨的，我就可以根據老師第二句話（三人中間至少有一人的臉是髒的）猜自己是髒臉；可惜另外二位小學生的臉是髒的，所以自己有可能是乾淨的，所以第一位小學生怕猜錯被罰而不敢猜。接著老師問第二位小學生，第二位心想：第一人不敢猜應該是因為看到：在他之外至少有一張髒臉，所以我和第三位同學中至少有一張髒臉；如果第三位同學臉是乾淨的我就能猜了，可是我看到第三位同學的臉是髒的，所以我也難以判斷我的臉是髒還是乾淨的，還是不要猜。老師最後問第三位，他想：從第一位的不猜，第二位同學應能推理出第二位和第三位中至少有一張髒臉，如果他觀察到我的臉是乾淨的，那第二位同學已經可以猜自己臉是髒的；可是看到他不敢猜，可見他觀察到我的臉是髒的。所以，我敢猜我的臉是髒的。