賽局理論利用合作賽局解-"核"解決古代猶太人破產問題。
圖片來源:http://www.discountseforim.com/
一個古代巴比倫猶太法典(塔木德Talmud)處理破產問題有一個人在破產前欠了三個人(A,B,C)的錢,分別為A:100元, B:200元, 和C:300元, 如果破產人剩餘200元,應該如何分給這三人?
我們都知道，這可能沒有一個正確的答案。公平分配是一個概念，它可能會依邏輯及社會習俗來制定。一般來說會有兩種不同的解決方案：一種是按比例分,另一種是均分。
你和朋友或同學去餐廳吃飯,到付帳時,大家最終會各付各的(自已點餐的價錢)。聖誕節到了,父母會依據年齡來給不同價值的禮物,相同年齡的小孩會得到一樣(等值)的禮物。前面的分法是按比例分,後面的是同年齡平均分父母的預算。
早在2000年前的巴比倫猶太法典-"塔木德"就已經記述如何去公平的分配債務問題?在法典中記錄著:一個債務人破產後,如何提供他的妻子將債務人所剩餘的資產作公平的分配。
我們來看它如何作分配:
如果他所剩的資產分別為100元,200元及300元,要如何分配?
如果他的資產只剩100元,猶太法典建議平均分配給每一個債權人,也就是各為33 1/3,這是一個資產均分的方法。如果他的資產只剩300元,猶太法典建議按比例分配給每一個債權人,也就是A:50元,B:100,C:150元。你或許覺得兩個不同的資產怎麼會有兩個不同的分法?但是更奇怪的是,如果資產剩200元時,又有另一種分法,猶太法典建議的分法為A:50元,B:75,C:75元,這種分法不是按比例分也不是平均分配,那它是用什麼方法算來的"分配方法"?為什麼B和C債權人會得到相同的75元?這些數字是如何算來的?許多的學者以為是不是法典的原稿寫錯了。
以下圖表是塔木德法典的解決方法:
過了2000年,沒有一個學者知道這些分配數字是根據什麼規則算出來的,一直到1980年Robert Aumann(2006年諾貝爾獎得主) 和 Michael Maschler在一篇論文發表,解開這謎題。他們是用賽局理論的合作賽局解-"核",去解釋這些分配的演算法。
他們主要的解決方法是:將有爭議的部份均分
首先我們以兩人為例,塔木德法典的應用可以超過2人。在法庭上,我們假設有兩個人(A,B)爭論一件衣物。A自稱有一半是屬於他的,B自稱全部是屬於他的。你是法官你要決定怎麼分？你可能會提出圴法（1 /2，1 /2）或按比例分（1 /3，2/ 3）。
但是，塔木德法典提供了一個不同的方法，它將有爭議的部份均分, 會得到這個答案（1 /4，3/ 4）,A得到1/4,而B得到3/4。我們來看它是如何做到的!
它的原理可以分為三步驟。首先，確定哪些部分是存在爭議。在以上的案例中，正好有一半(1/2)的衣物是雙方都聲稱是自已的。其次，均分雙方之間有爭議的部份，有爭議的部份是1/2;因此，均分給每個人1/ 4。第三，將“沒有爭議的“部分，全部給聲稱屬於自已的人。有爭議的部份是1/2(A,B都聲稱);沒有爭議的部份也是1/2(只有B聲稱,因為他宣稱全部都是他的),所以將這沒有爭議的部份1/2給B。我們可以統計一下:A得到1/ 4,而B得到1/ 4+1/2=3/4。這結果的分配邏輯為:將這衣物的1/4分給A(自稱有一半是屬於她的);將衣物的3/4分給B(自稱全部是屬於她的)。
這個答案可能你覺得很很奇怪，但這分配方法是依照於社會習俗而制定。我們可以用這種分配原理應用在其它的案例。回到猶太人破產問題的債務分配。我們先將問題縮小,假設有兩個債權人A和C,債務人剩下的資產有三情況分別為66 2/3元,125元及200元,債權人A宣稱債務人欠他100元和C宣稱債務人欠他300。
我們用以上的三步驟分別計算不同倩況的債務分配。
情況一:債務人剩下的資產為66 2/3元
因為雙方宣稱債務人欠的錢(分別A:100元,C:300元)均大於剩下的資產66 2/3元,所以有爭議的部分為66 2/3元,將它均分為33 1/3元,所以每個人都得到33 1/3元。
情況二:債務人剩下的資產為125元
因為雙方宣稱債務人欠的錢(分別A:100元,C:300元),有爭議的部分為A所宣稱的100元,將它均分兩人各得50元。沒有爭議的部份為125-100=25元,給全部聲稱屬於自已的人(C)。所以A得到50元,C得到50元加上25元為75元。
情況三:債務人剩下的資產為200元
同樣地,因為雙方宣稱債務人欠的錢(分別A:100元,C:300元),有爭議的部分為A所宣稱的100元,將它均分兩人各得50元。沒有爭議的部份為200-100=100元,給全部聲稱屬於自已的人(C)。所以A得到50元,C得到50元加上100元為150元。整理三種情況如下圖:
同理地,我們可以比較A和B的情況,雙方宣稱債務人欠的錢(分別A:100元,B:200元)以及比較B和C的情況,雙方宣稱債務人欠的錢(分別A:200元,B:300元),我們用同樣的原理-三個步驟得到如下的兩圖:
有了以上初步的解說後,我們可以解釋猶太人破產問題的債務分配問題
有一個人在破產前欠了三個人(A,B,C)的錢,分別為A:100元, B:200元, 和C:300元, 如果破產人剩餘200元, 塔木德法典建議的分法為A:50元,B:75,C:75元:我們來分析為什麼會有這個答案?
首先我們以兩人(A:100元, B:200元)為例,同樣地,運用原理三步驟, 有爭議的部分為A所宣稱的100元,將它均分兩人各得50元。剩餘200元減50元等於150元,給B和C,所以B和C有爭議的部份為150元,均分75元給B和C。
讓我們用”水注入連結容器的法則”來解釋有爭議的部份均分的問題,以便於瞭解其它案例:
同樣假設有兩個債權人A和B,我們想像有兩個不同容量的容器,他們的容量代表他們所宣稱的欠款數量(如下圖)
把它們的容量各切一半,100容量上半部是50,下半部是50,200容量上半部是100,下半部是100,水量為剩餘的資產(金額),中間水管的空間我們把它忽略不考慮,當水量為125時,將注水入兩個容器中,會將第一個容器A下半部先補滿,剩餘的75再流給容器B下半部。所以兩者的分配為 :A給50,B給75。
當水量為175時,將175注入兩個容器中,會將第一個容器A下半部50先補滿,剩餘的125再流給容器B下半部100,再流入容器B上半部25。所以兩者的分配為 :A給50,B給125。如右下圖.
現在我們來看三個容器也就是有三個債權人A:100元, B:200元, 和C:300元,把它們的容量各切一半, A:100容量上半部是50,下半部是50,B:200容量上半部是100,下半部是100, C:300容量上半部是150,下半部是150,
如果水量200為剩餘的資產(金額),將200量注入三個容器中,會將第一個容器A下半部50先補滿,剩餘的150會平均流給容器B及容器C的下半部各75的水。所以三者的分配為 :A給50,B給75及C給75。如下圖.
如果水量400為剩餘的資產(金額),將400量注入三個容器中,會將第一個容器A下半部50先補滿,剩餘的350會流給容器B及容器C,它們的下半部都補滿後,三個容器的水量共用了300,400減300等於100,剩下的100會往容器B及容器C上半部流。容器B及容器C上半部剩下的空間會相等, 容器B及容器C上半部的空間量共250(B:100,C:150), 剩下的100流入後剩150, 因為容器B及容器C上半部剩下的空間會相等,150切一半為75, B上半部容量100減75為25(流給B上半部的水量); C上半部容量150減75為75(流給C上半部的水量),所以三者的分配為 :A給50,B給100+25及C給150+75。
三者的分配水量為A給50,B給125及C給225。如下圖.
Aumann真是太厲害了。”有爭議的部份均分”這就是合作賽局的解”核”,下次再和大家分享。
參考來源:"Game Theory in the Talmud,"Journal of Economic Theory 36 (1985), pp. 195-213, written by Robert Aumann, and retrieved from Presh Talwalkar’s website (Mind your decisions).
沒有留言:
張貼留言