古巴飛彈危機The Cuban Missile Crisis

危機邊緣政策的運用(Brinkmanship)
原子彈結束了二戰，美國與蘇聯兩國開始進入一個製造核子武器的競賽，就是所謂的冷戰時期，在1962年10月衝突達到一個最高點，核戰一觸擊發，這個事件為“古巴飛彈危機”。

美國情治單位發現蘇聯陸續的運輸中程彈導飛彈的裝備及零件至中美洲的古巴，這彈導飛彈可以裝載核子彈頭，射程涵蓋了美國華府，面對蘇聯的挑釁，美國當時的總統甘迺迪面臨是否要出兵古巴的困境？經過美國智囊團與甘迺迪總統的研析後，決定用比較溫和的方式－『海上檢查古巴商船』來反擊蘇聯的威脅。
當時兩國均有鷹派及溫和派，先假定蘇聯的溫和派較多，我們可以將雙方先後決策的對應方式用樹狀圖描繪，如下圖：

我們用倒推法可以求出子賽局完美均衡為美國實施商船檢查，而蘇聯將彈導飛彈撤回。如下圖。

如果假定蘇聯的鷹派較多，同樣地，我們可以將雙方先後決策的對應方式用樹狀圖描繪，如下圖：

我們用倒推法可以求出子賽局完美均衡為美國實施商船檢查，而蘇聯潛艇反擊美國驅逐艦，最後爆發核子戰。如下圖。

美國總統甘迺迪面對這兩個可能的結果,不斷的和幕僚研析,到底蘇聯決策團隊中,鷹派的人數比較多,還是溫和派的人數比較多,鷹派的機率要小於百分之幾? 『海上檢查古巴商船』的策略才會奏效,才會讓蘇聯將彈導飛彈撤回?
只有上帝知道(Nature) 蘇聯決策團隊中鷹派的機率和溫和派的機率為多少? 我們假設鷹派的機率為p,溫和派的機率為1-p,而美國用『檢驗商船』的機率為q,採取容忍的機率為1-q,我們將之前兩個鷹派與溫和派的樹狀圖結合在一起,如下圖。

如果美國實施商船檢查，而蘇聯潛艇反擊美國驅逐艦,沒有人知道後果會變如何?但我們知道美國用『檢查商船』的機率為q,採取容忍的機率為1-q,所以可以重新計算美國與蘇聯爆發戰爭的期望報酬。
我們先計算美國的最大容忍度。如果美國面對蘇聯是鷹派,機率p,鷹派對抗美國,美國會得到-10。如果美國面對蘇聯是溫和派,機率1-p,溫和派撤退,美國會得到1。美國發出威脅運用檢查商船方式獲得期望報酬為 -10p+(1-p)=1-11p,若美國不發出威脅會得到-2, 美國發出威脅期望值大於不發出威脅的期望值,為1-11p > -2, 即 p< 3/11=0.27,時美國就應該發出威脅。這是美國最大容忍度。
再看美國q的機率為-10,1-q的機率為-2,所以期望值會變為-10q-2(1-q)=-2-8q。
蘇聯有區分鷹派和溫和派兩種, 鷹派的話,在美國反擊的q機率中,蘇聯對抗會得到-4, 在美國容忍的1-q機率中,蘇聯對抗會得到2, 所以期望值會變為-4+2(1-q)=2-6q。溫和派的話,在美國反擊的q機率中,蘇聯對抗會得到-8, 在美國容忍的1-q機率中,蘇聯對抗會得到2, 所以期望值會變為-8q+2(1-q)=2-10q。有了以上的新的期望值後,我們可以重新建構賽局樹狀圖,如下: 

美國如果面對蘇聯是溫和派,它發現蘇聯撤退比對抗獲利還多時,也就是-4 >2-10q,q>0.6,因此美國的危機邊緣政策(檢查商船)至少要大於60%,對溫和派才有嚇阻力,蘇聯才會退卻。這個q值0.6我們稱它為最低有效限度(effectiveness condition)。
我們來看p和q的相關性,如果蘇聯是鷹派,機率是p,美國發出威脅,蘇聯對抗,美國得到的報酬為-2-8q。如果蘇聯是溫和派,機率是1-p,美國發出威脅,蘇聯撤退,美國得到的報酬為1。兩者相加的期望值為美國不管是面對鷹派或溫和派,發出威脅的期望值為(-2-8q)×p + 1×(1-p) = -8pq-3p+1。這值會大於美國不發出威脅獲得的報酬-2,我們可以得到式子: -8pq-3p+1 > -2 , q < 0.375(1-p)/p,我們用這不等式畫出下圖:



在圖中我們可以看到美國總統甘迺迪知道p值落在1/2到1/3之間,他藉由發表演說來緩和緊急氣氛,以及運用漸近式地於海上實施武裝檢查古巴商船(Quarantine),就如沿著曲線慢慢上升,到蘇聯仍可接受的範圍內(圖下方灰色部份),最後蘇聯撤退。解決了古巴飛彈危機。
參考來源: Games of Strategy, Dixit and Skeath, 2007.